Diferenciālrēķini funkciju vienu un vairākiem mainīgajiem

Diferenciālrēķini ir filiāle matemātisku analīzi, kas izskata atvasinājumu, atšķirības un to izmantošanu pētījumā funkciju.

Stāsts par

Diferenciālrēķini kļuvusi par neatkarīgu disciplīnas otrajā pusē 17. gadsimtā, pateicoties darbam Newton un Leibniz, kurš formulēts pamatnoteikumus aprēķinā atšķirību un pamanīju savienojumu starp integrāciju un diferenciāciju. Kopš disciplīnas viņš izstrādāja kopā ar aprēķinu integrāļi, tādējādi veidojot pamatu matemātisko analīzi. Šo akmeņu izskats atvēra jaunu, modernu periodu matemātisko pasaulē un izraisīja jaunu disciplīnu zinātnē. Arī paplašināja iespēju piemērot matemātikas dabas zinātnēs un inženierzinātnēs.

pamatjēdzieni

Diferenciālrēķini ir balstīta uz pamatjēdzienu matemātiku. Tie ir: reāls skaitlis, nepārtrauktība un robeža funkciju. Pēc kāda laika, tie ir ņemti modernu izskatu, pateicoties neatņemamu un diferenciālo calculus.

Tapšanas process

Veidošanās diferenciālo calculus veidā pieteikumu, un tad zinātnisko metodi notika pirms rašanos filozofiskās teorijas, kas tika izveidota ar Nikolay Kuzansky. Viņa darbs tiek uzskatīts par evolūcijas attīstība no seno zinātni spriedumu. Neskatoties uz to, ka filozofs pats nebija matemātiķis, viņa ieguldījums attīstībā matemātikas zinātnē ir nenoliedzams. Cusa, viens no pirmā no izskatīšanas aritmētisko kā visprecīzāko zinātnes, matemātika liekot laiku apšaubīt.

Senos matemātiķi universālais kritērijs bija vienība, bet ierosināja kā jaunu pasākumu bezgalībā filozofs atdot precīzu numuru. Saistībā ar šo apgrieztu pārstāvība precizitāti matemātiskajā zinātnē. Zinātniskās zināšanas, pēc viņa domām, ir sadalīta racionāla un inteliģents. Otrais ir precīzāks, saskaņā ar zinātnieku, jo bijušais dod tikai aptuvenus rezultātus.

ideja

Pamata ideja un koncepcija diferenciālo calculus, kas saistīti ar funkciju nelielā apkaimē atsevišķiem punktiem. Šā iemesla dēļ ir nepieciešams, lai izveidotu matemātisko aparātu darboties pētījumus, kuru uzvedība nelielā apkaimē instalēto tuvu uzvedību lineāro funkciju vai polinoma punktus. Pamatojoties uz šo definīciju atvasinājums un diferenciālis.

No parādīšanās koncepcijas atvasinājuma izraisīja lielu skaitu problēmu dabaszinātņu un matemātikas, kā rezultātā, lai noteiktu robežvērtību tā paša tipa.

Viens no galvenajiem uzdevumiem, kas ir dota kā piemērs, sākot ar vecākajiem skolas klasēm, ir noteikt ātrumu kustības punkta taisnā līnijā un būvniecības pieskari šīs līknes. Diferenciālā saistīts ar šo, jo tas ir iespējams pielīdzināt funkciju nelielā apkaimē punktu lineāro funkciju.

Salīdzinājumā ar jēdzienu atvasinājums funkciju reālu mainīgo, definīciju atšķirību vienkārši iet uz funkciju vispārēja rakstura, īpaši tēlu Eiklīda telpas uz otru.

atvasinājums

Ļaujiet punktu kustas virzienā y ass, uz laiku, mēs ņemam x, kas tiek mērīts no sākuma brīdi. Aprakstīt šādu kustību ir iespējams ar funkciju y = f (x), kas ir saistīta ar katrā laika punktā x koordinātu aizvietojamā punktu. Šī funkcija zvans mehānikā, lai likumu kustības. No kustības, jo īpaši nevienmērīga, galvenā pazīme ir momentānās ātrums. Kad punkts tiek pārvietots pa y asi, saskaņā ar likumu mehānika, izlases laiks punkts tā iegūst koordinātu x f (x). Laikā punkts x + SH, kur SH pārstāv pieaugumu laikā, tas tiks kordinaty f (x + SH). Tādējādi veidojas formula Δy = f (x + SH) - f (x), kas tiek saukts par pieaugums funkcija. Tas ir punkts par ceļu šķērso laikā no x līdz x + SH.

Sakarā ar iestājoties ātrumam pie laika tā atvasinājumiem, tiek ievadīts. Jebkura funkcijas atvasinājuma ar fiksētu punktu sauc robežu (pieņemot, ka tā eksistē). To var attiecināt uz dažām rakstzīmēm:

f '(x), y', Y, df / dx, dy / dx, Df (x).

To atvasinājums zvanu diferenciācijas aprēķināšanas process.

Diferenciālrēķini funkcijas vairākiem mainīgajiem

Šī metode ir piemērota, aprēķinot funkciju izpēti, vairāki mainīgie. Kad ir divi mainīgie x un y, daļējs atvasinājums attiecībā uz X punktā A sauc atvasinājums no šīs funkcijas veikšanai x ar fiksētu y.

Var norādīts šādiem simboliem:

f '(x) (x, y), u "(x), ∂u / ∂x un ∂f (x, y)' / ∂x.

Nepieciešamās prasmes

Lai veiksmīgi mācīties un varētu atrisināt diffury nepieciešamās iemaņas integrāciju un diferenciāciju. Lai būtu vieglāk saprast diferenciālo vienādojumu, ir jāsaprot tēmu atvasinājumu un nenoteiktais integrālis. Arī nesāpēs mācīties meklēt atvasinājums no netiešas funkciju. Tas ir saistīts ar faktu, ka mācību procesā bieži izmanto integrāļus un diferenciāciju.

Veidi Diferenciālvienādojumu

Praktiski visi kontroles darbu, kas saistīts ar pirmās kārtas diferenciālvienādojumu, ir 3 veidu vienādojumu: viendabīga, ar atdalāmām mainīgajiem, lineārā neviendabīgu.

Ir arī daudz retu sugu vienādojumi ar kopējo atšķirību, Bernulli vienādojums, un citi.

Fundamentals risinājumi

Lai sāktu, mums jāatceras, algebriskā vienādojumu skolas kursā. Tie satur mainīgos un ciparus. Lai risinātu parasto vienādojumu vajadzētu atrast daudz numuriem, kas atbilst ar norādīto nosacījumu. Raksturīgi, ka šie vienādojumi ir viena saknes, un apstiprināšanai būtu tikai aizstāt šo vērtību vietā nezināmā.

Atšķirīga vienādojums ir līdzīgs šim. Vispār, vienādojumu no pirmās kārtas ietver:

• Neatkarīgais mainīgais.
• Atvasinājums no pirmās funkciju.
• Funkcija vai atkarīgo mainīgo.

Dažos gadījumos var būt viens zināms, x vai y, bet tas nav tik svarīgi, jo tas ir nepieciešams, lai būtu pirmais atvasinājumu, kam nav augstāko kārtu atvasinājumu uz risinājuma un diferenciālo calculus bija taisnība.

Atrisināt diferenciālo vienādojumu - tas nozīmē, ka, lai atrastu kopumu visām funkcijām, kas ir piemēroti, ņemot vērā izteiksme. Šādi komplekti funkciju bieži sauc par vispārēju risinājumu kontroli.

integrālrēķini

Integral calculus ir viena no sadaļām matemātiskās analīzes, kas izskata koncepciju neatņemama, īpašības un tā aprēķina metodoloģiju.

Bieži aprēķins integrāli notiek, aprēķinot platību līklīniju formas. Ar šo ir ierobežojuma zonu, uz kuru iepriekš platība ierakstīta daudzstūra forma ar pakāpenisku pieaugumu rokā, un datu pusē var izdarīt mazāk nekā jebkura iepriekš norādīto patvaļīgi mazu vērtību.

Galvenā ideja, aprēķinot jomā jebkuras ģeometriskas formas ir aprēķina platību taisnstūris, tad ir pierādījumi, ka tā platība ir vienāda ar produkta garuma ar platumu. Kad runa ir par ģeometriju, tad visi konstrukcijas tiek veikti, izmantojot lineālu un kompasu, un tad garuma attiecība pret platumu ir racionāla vērtība. Aprēķinot platību trijstūris var noteikt, ka, ja jūs likts nākamo trīsstūri, veidojas taisnstūris. Šajā jomā paralelograms tiek aprēķinātas līdzīgi, bet nedaudz vairāk sarežģītu metodi, taisnstūrī un trijstūri. Šajā jomā daudzstūris tiek uzskatīts par iekļautas tajā trijstūri.

Nosakot žēlastību patvaļīgs, šī metode neatbilst līknei. Ja mēs pārkāpjam to individuālo laukumiem, tas paliks neaizpildītas vietas. Tādā gadījumā, mēģiniet izmantot divas kārtas, ar taisnstūriem virs un zem, kā rezultātā tie ietver grafiku funkcijas, un neietver. Svarīgi šeit ir veids, kā lauzt šo taisnstūri. Arī tad, ja mēs ņemam pārtraukumu vairāk samazināts, platību augšas un apakšas vajadzētu virzīties uz noteiktu vērtību.

Tā vajadzētu atgriezties pie paņēmienā nodalot taisnstūri. Ir divas tautas metodes.

Riemann tika oficiāli definīciju neatņemama, kas izveidota ar Leibniz un Newton, jo platība subgraph. Šajā gadījumā, mēs uzskatīja skaitlis, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kas iegūti, dalot intervālu. Kad pārkāpj samazinājums ir robeža, kam piemēro samazināto platību šādu skaitli, šis ierobežojums tiek saukta par Riemann integrālis funkciju noteiktā intervālā.

Otra metode ir izveidot Lebesgue neatņemama, ko veido fakts, ka vietā atdalīšanas izraudzīta zona par daļu no integrand un apkopo datus pēc tam neatņemama summu no vērtībām, kas iegūtas šīm daļām, pie intervāliem sadalīja savu vērtību diapazonu un tam saskaitīts kopā ar attiecīgajiem pasākumiem apgriezto attēlu šo integrāļi.

mūsdienu līdzekļi

Viens no galvenajiem ieguvumiem izpēti diferenciāli un neatņemamu calculus Fikhtengol'ts rakstīja - "par diferenciāli un neatņemamu calculus." Viņa mācību grāmata ir būtisks instruments, lai pētījumu matemātiskās analīzes, kas izturējis daudzus izdevumus un tulkojumus citās valodās. Izveidots studentiem un uz ilgu laiku izmanto dažādiem izglītības iestādēs, kā viens no galvenajiem ieguvumiem no pētījuma. Tā sniedz teorētisko informāciju un praktiskas iemaņas. Pirmo reizi publicēja 1948. gadā.

Algoritms pētījumi funkcija

Lai izpētītu metodes diferenciālrēķini funkciju, jums ir nepieciešams, lai sekotu jau ir dots algoritms:

1. Atrast domēna funkcijas.
2. Atrast saknes dotā vienādojuma.
3. Aprēķināt galējības. Lai to izdarītu, mēs aprēķināt atvasinājumu un vietu, kurā tā ir vienāda ar nulli.
4. Mēs aizvietot vērtību, kas iegūta Eq.

Šķirnes Diferenciālvienādojumu

Kontrole pirmās kārtas (citādi diferenciālrēķini vienu mainīgo) un to veidiem:

• Ar atdalāmi mainīgo vienādojumu: f (y) dy = g (x) dx.
• Vienkāršākā vienādojumu vai diferenciālrēķini funkcija vienu mainīgo, kuram ir formula: y '= f (x).
• Lineārais pirmās kārtas nonuniform kontrole: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferenciālvienādojuma: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Equation kopējās starpības ar: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferenciālvienādojumi Otrās kārtības un to veidiem:

• Viendabīga lineārs otrās kārtas diferenciālvienādojuma ar nemainīgu ^{koeficientu: y n + py '+ QY} = 0 p, q pieder R.
• Inhomogeneous lineārs otrās kārtas diferenciālvienādojuma ar nemainīgu koeficientu ^{vērtības: y n + py '+ QY} = f (x).
• Viendabīga lineāra ^{diferenciālvienādojuma: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, un nehomogēna otrās kārtas ^{vienādojumu: y n + p (x)} y' + Q (x), y = f (x).

Diferenciālvienādojumi augstākās pasūtījumu un to veidiem:

• Diferenciālā vienādojumu, kas ļauj samazināt ^{secībā: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Lineāra vienādojumu augstākās kārtībā ^{_{homogēnā: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, un ^{_{neviendabīgu: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Posmi problēmu risināšanas ar diferenciālvienādojuma

Ar palīdzību tālvadības pults tiek atrisināts ne tikai matemātiku vai fiziskas problēmas, bet arī dažādas problēmas bioloģijas, ekonomikas, socioloģijas un citi. Neskatoties uz dažādām tēmām, vajadzētu ievērot vienu loģisku secību šīs problēmas risināšanai:

1. Izstrādājot kontroli. Viens no grūtākajiem posmiem, kas prasa maksimālu precizitāti, jo jebkurš kļūda novedīs pie pilnīgi nepareiziem rezultātiem. Ir nepieciešams ņemt vērā visus faktorus, kas ietekmē šo procesu un noteikt sākotnējos apstākļus. Būtu arī, balstoties uz faktiem un loģiskiem secinājumiem.
2. Lai atrisinātu vienādojumu. Šis process ir vieglāk ar pirmo punktu, jo tas prasa tikai stingri īstenot matemātiskos aprēķinus.
3. Analīze un rezultātu izvērtēšana. Iegūti šķīdums jānovērtē uzstādīšanai praktisko un teorētisko vērtību rezultātu.

Piemērs izmantošanas diferenciālo vienādojumu medicīnā

Izmantojot tālvadības pulti jomā zālēm ir atrodama būvniecībā epidemioloģiskās matemātisko modeli. Mums nevajadzētu aizmirst, ka šie vienādojumi ir sastopami arī bioloģijā un ķīmijā, kas ir tuvu medicīnu, jo tā ir svarīga loma pētījumu dažādu bioloģisko populāciju un ķīmiskajiem procesiem cilvēka organismā.

Šajā piemērā, epidēmijas izplatīšanos infekcijas var ārstēt izolētā sabiedrībā. Iedzīvotāji iedala trīs veidos:

• Inficēti, skaits x (t), kas sastāvēja no indivīdu, infekcijas nesējiem, no kuriem katrs ir infekcijas (inkubācijas periods ir īss).
• Otrais veids ietver uzņēmīgs indivīdiem y (t), var būt inficēti ar saskarē ar inficēties.
• Trešais veids ietver ugunsizturīgu indivīdiem z (t), kas ir imūna vai zaudēti slimības.

pastāvīgi, saglabājot dzimšanu, dabas nāves un migrācija netiek uzskatīta skaits indivīdu. Tajā pamatā būs divas hipotēzes.

Procenti slimība kādā laika brīdī ir vienāds ar x (t), y (t) (pamatojoties pieņēmums uz teoriju, ka vairāki gadījumi, proporcionāli krustojumu skaitu starp pacientu un atsaucīgiem locekļi, kas pirmajā tuvinājumā ir proporcionāla x (t), y (t)), jo tādēļ gadījumu skaits pieaug, un to skaits uzņēmīgu samazinās ar ātrumu, kas ir aprēķināta pēc formulas ax (t) y (t) (a> 0).

Number of non-glābējus dzīvniekiem, kas miruši vai iegūto imunitāti, palielinot likmi, kas ir proporcionāls to gadījumu skaitu, BX (t) (b> 0).

Tā rezultātā, jūs varat izveidot vienādojumu sistēmu ar visiem trim rādītājiem, pamatojoties uz saviem secinājumiem.

PIEMĒRS lietošana economics

Diferenciālrēķini bieži izmanto ekonomiskajā analīzē. Galvenais uzdevums ekonomiskajā analīzē tiek uzskatīta pētījums par vērtību ekonomikas, kuras ir reģistrētas kā funkciju. To lieto, risinot problēmas, piemēram, izmaiņas ienākuma nodokļa palielinājumu uzreiz pēc, ieejas maksa, ja maina produkta vērtību izmaiņām ieņēmumos, jo kāda daļa var aizstāt ar pensionētajiem darbiniekiem, ar jaunu aprīkojumu. Lai atrisinātu šādas problēmas, tas ir nepieciešams, lai izveidotu komunikācijas funkciju ienākošo mainīgajiem, kas pēc tam, kad to ir izpētījis diferenciālo calculus.

bieži vien ir nepieciešams, lai atrastu optimālāko sniegumu ekonomiskajā sfērā: maksimālu produktivitāti, augstāko ienākumu, vismazākās izmaksas un tā tālāk. Katrs šāds elements ir atkarīgs no viena vai vairākiem argumentiem. Piemēram, ražošanu var uzskatīt par funkciju darbaspēka un kapitāla. Šajā sakarā, lai atrastu piemērotu vērtību var samazināt, lai atrastu maksimālo vai vismaz funkciju vienu vai vairākiem mainīgajiem.

Šādas problēmas izveidot klasi extremal problēmas ekonomikas jomā, par kuru jums ir nepieciešams diferenciālo calculus. Kad ekonomikas rādītājs ir nepieciešams, lai samazinātu vai palielinātu kā funkciju no citiem parametriem, tad pieaugums attiecība maksimālais punktu funkcija argumentiem būs jātiecas uz nulli, ja pieaugums par argumentu tiecas uz nulli. Pretējā gadījumā, ja šāda attieksme mēdz noteiktu pozitīvu vai negatīvu vērtību, norādītā vieta nav piemērota, jo, palielinot vai samazinot argumentu var mainīt atkarīga vērtību vēlamajā virzienā. Jo Diferenciālrēķini terminoloģiju, tas nozīmētu, ka nepieciešamie nosacījumi maksimālu funkcija ir nulle vērtība tā atvasinājuma.

Ekonomika nav nekas neparasts problēma atrast ekstrēmumu funkciju vairāku mainīgo, jo ekonomiskie rādītāji ir izgatavoti no daudziem faktoriem. Šādi jautājumi ir labi saprotams teoriju funkcijas vairākiem mainīgajiem, metodi diferenciāli aprēķināšanai. Šādas problēmas ietver ne tikai maksimāli un minimizēta funkciju, bet arī ierobežojumus. Šie jautājumi ir saistīti ar matemātikas programmu, un tie ir atrisināta, izmantojot speciāli izstrādātas metodes balstās arī uz šo zinātnes nozarē.

Starp metodēm diferenciālo calculus izmanto ekonomikā, svarīga sadaļa ir galvenais pārbaudījums. Šajā ekonomiskajā sfērā, termins attiecas uz kopumu pētīšanas metožu mainīgu sniegumu un rezultātus, kad jūs mainīt skaļumu radīšanai, patēriņam, pamatojoties uz analīzi par to robežvērtības. norāde uzskatīja atvasinājumu vai daļējas atvasinājumus ar vairākiem mainīgajiem ierobežošana.

Diferenciālrēķini no vairākiem mainīgajiem - svarīgs temats matemātisko analīzi. Detalizētu pētījumu, jūs varat izmantot dažādus mācību palīglīdzekļiem augstākās izglītības iestādēs. Viens no slavenākajiem radīti Fikhtengol'ts - "par diferenciāli un neatņemamu calculus." Cik daudz vārdu, lai šķīdums diferenciālo vienādojumu svarīga nozīme ir prasmes strādāt ar integrāļi. Ja ir diferenciālrēķini funkcijas viens mainīgais, lēmums kļūst vieglāk. Kaut gan, jāatzīmē, ka ievēro tos pašus pamatnoteikumus. Praksē, lai izpētītu funkciju diferenciālo calculus, vienkārši izpildiet jau esošo algoritmu, kas ir dots vidusskolā, un tikai nedaudz sarežģītāks, ieviešot jaunus mainīgos.