Lineārā un homogēna diferenciālvienādojuma pirmās kārtas. piemēri risinājumiem

Es domāju, ka mums vajadzētu sākt ar vēsturi krāšņās matemātiskā līdzekli, kā diferenciālo vienādojumu. Tāpat kā visi diferenciāli un neatņemamu calculus, šie vienādojumi tika izgudroja Newton vēlu 17. gadsimtā. Viņš uzskatīja, ka bija viņa atklājums tik svarīgi, ka pat šifrēts vēstījums, kas šodien var tulkot šādi: ". Visas dabas likumus ar diferenciālvienādojumu aprakstīto" Tas var likties pārspīlēti, bet tā ir taisnība. Jebkurš likums fizikā, ķīmijā, bioloģijā, var raksturot ar šiem vienādojumiem.

Milzīgs ieguldījums attīstībā un izveidē teoriju diferenciālo vienādojumu ir matemātika Euler un Lagrange. Jau 18. gadsimtā viņi atklāja, un izstrādāja to, kas šobrīd studē pie vecāko universitātes kursos.

Jauns pavērsiens pētījuma diferenciālo vienādojumu sākās, pateicoties Anrī Puankare. Viņš radīja "kvalitatīvu teoriju diferenciālo vienādojumu", kas, apvienojumā ar teoriju funkciju kompleksu mainīgo ievērojami veicināja pamatu topoloģiju - Kosmosa zinātnē un tās īpašībām.

Kādas ir diferenciālvienādojumi?

Daudzi cilvēki baidās no frāzes "diferenciālvienādojumu". Tomēr šajā rakstā mēs detalizēti izklāstīti būtību šo ļoti noderīgo matemātisko instruments, kas ir faktiski nav tik sarežģīta, kā tas šķiet no nosaukuma. Lai sāktu runāt par pirmās kārtas diferenciālvienādojuma, vispirms iepazīties ar galvenajiem jēdzieniem, kas pēc būtības ir saistītas ar šo definīciju. Un mēs sāksim ar diferenciāli.

diferenciālis

Daudzi cilvēki zina šo terminu kopš vidusskolas. Tomēr joprojām aiztures par to sīkāk. Iedomājieties grafiku funkcijas. Mēs varam to palielināt, lai tādā mērā, ka kāds no savā segmentā kļūst taisnu līniju. Tā ņemšu divus punktus, kas ir bezgalīgi tuvu viens otram. Starpība starp to koordinātēm (x vai y) ir bezgalīgi. Un tas sauc starpība un rakstzīmju iecelt dy (atšķirīgu no y) un DX (par atšķirīgu x). Ir svarīgi saprast, ka starpība nav galvenā vērtība, un tas ir jēga, un galvenā funkcija.

Un tagad jums ir apsvērt šādus elementus, kas mums būs nepieciešams, lai izskaidrotu diferenciālvienādojuma koncepciju. It - atvasinājums.

atvasinājums

Visi no mums ir dzirdējuši skolā un šo jēdzienu. Viņi saka, ka atvasinājums - ir pieauguma temps vai samazināšanās funkciju. Tomēr šī definīcija kļūst maldinoša. Ļaujiet mums mēģināt izskaidrot atvasinātos noteikumus par atšķirībām. Atgriezīsimies pie bezgalīgi intervāla funkciju ar diviem punktiem, kas atrodas pie minimālā attālumā viena no otras. Bet pat pēc šī attāluma funkcija ir laiks, lai mainītu uz kādu vērtību. Un, lai aprakstītu šīs izmaiņas, un nākt klajā ar atvasināto instrumentu, kas citādi būtu rakstīts kā attiecība starp atšķirību: f (x) "= df / dx.

Tagad tas ir nepieciešams apsvērt galvenās īpašības atvasinājums. Ir tikai trīs:

1. Atvasinājums summa vai starpība var tikt attēlots kā summu vai starpību no atvasinājumiem: (a + b) '= a "+ b", un (ab)', A'-b '.
2. Otrs īpašums ir saistīts ar vairošanos. Atvasinātus darbus - ir summa darbiem vienu funkciju uz citu atvasinājuma: (a * b) "= a '* b + a * b".
3. No starpības atvasinājums var tikt rakstīts kā šādu vienādojumu: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Visas šīs funkcijas noderēs, lai atrastu risinājumus diferenciālvienādojumu pirmās kārtas.

Tāpat ir daļēji atvasinājumi. Pieņemsim, mums ir funkcija no z, kas ir atkarīga no mainīgo x un y. Lai aprēķinātu daļēju atvasinājumu šo funkciju, piemēram, x, mums ir nepieciešams, lai ņemtu mainīgo y nemainīgo un viegli atšķirt.

integrālis

Vēl viens svarīgs jēdziens - neatņemama. Faktiski tas ir pretējs atvasinājuma. Integrāļi ir vairāki veidi, bet vienkāršāko risinājumu diferenciālo vienādojumu, mums ir nepieciešams visvairāk triviāla nenoteiktu integrāļi.

Tātad, kas ir neatņemama? Pieņemsim, ka mums ir kāda saistība f x. Mēs no tā neatņemama un iegūt funkciju F (x) (tā bieži tiek saukta primitīvas), kas ir atvasināts no sākotnējā funkcija. Tāpēc F (x) '= f (x). Tas arī nozīmē, ka integrālis atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju.

Atrisināt diferenciālvienādojumus tas ir ļoti svarīgi, lai saprastu nozīmi un funkcijas integrālis, jo ļoti bieži ir ņemt tos, lai atrastu risinājumu.

Vienādojumi atšķiras atkarībā no to veida. Nākamajā nodaļā mēs apskatīsim veidu pirmo pasūtījumu diferenciālo vienādojumu, un pēc tam uzzināt, kā tās atrisināt.

Nodarbības diferenciālo vienādojumu

"Diffury" dalīts ar rīkojumu iesaistīto tiem atvasinājumu. Tādējādi ir pirmais, otrais, trešais vai vairāk pasūtījumu. Tie var būt arī sadalīta vairākās klasēs: parastās un daļēju.

Šajā rakstā mēs izskatīs parasto diferenciālvienādojumu pirmās kārtas. Piemēri un risinājumi mēs apspriestu šādās sadaļās. Mēs uzskatām, ka tikai KPN, jo tas ir visbiežāk veidi vienādojumu. Parastā sadalīta pasugas: ar atdalāmām mainīgajiem, viendabīgu un neviendabīgu. Tālāk jūs uzzināsiet, kā tās atšķiras viena no otras, un uzziniet, kā tās atrisināt.

Turklāt šie vienādojumi var apvienot, lai pēc tam, kad mēs sistēmu diferenciālvienādojumu pirmās kārtas. Šādas sistēmas, mēs arī apskatīt un uzzināt, kā to atrisināt.

Kāpēc mēs, ņemot vērā tikai pirmo pasūtījumu? Jo tas ir nepieciešams, lai sāktu ar vienkāršu un aprakstīt visu, kas saistīti ar diferenciālo vienādojumu, vienā rakstā nav iespējams.

Vienādojumi ar atdalāmām mainīgajiem

Tas ir iespējams, visvairāk vienkāršas pirmais pasūtījums diferenciālvienādojumi. Tie ir piemēri, kas var rakstiski kā: y '= f (x) * f (y). Atrisināt šo vienādojumu mums ir nepieciešams Atveidojumu formulu atvasinājums kā attiecība starp atšķirību: y '= dy / dx. Ar to mēs iegūt vienādojumu: dy / dx = f (x) * f (y). Tagad mēs varam pievērsties metodi risināšanas standarta piemērus: atdalītu mainīgo daļās, ti, ātri uz priekšu visu mainīgo y daļā, kur ir dy, kā arī padarīt mainīgā x ... Iegūstam vienādojumu formā: dy / f (y) = f (x) dx, ko panāk, veicot integrāļus no divām daļām. Neaizmirstiet par pastāvīga, ka jūs vēlaties, lai pēc integrāciju.

Jebkura "diffura" risinājums - ir funkcija no x līdz y (mūsu gadījumā), vai arī, ja ir skaitlisks nosacījums, atbilde ir skaitlis. Ļaujiet mums pārbaudīt konkrētu piemēru: visu kursu lēmumu:

y '= 2y * sin (x)

Pārsūtiet mainīgie dažādos virzienos:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Tagad veikt integrāļi. Visi no tiem var atrast īpašā tabulā integrāļi. Un mēs iegūstam:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ja nepieciešams, mēs varam izteikt par "y" kā funkciju no "X". Tagad mēs varam teikt, ka mūsu diferenciālvienādojums ir atrisināta, ja nav norādīts stāvokli. Var norādīt nosacījumu, piemēram, y (n / 2) = e. Tad mēs vienkārši aizstāt vērtību šo mainīgo lēmumu un atrast vērtību pastāvīga. Mūsu Piemēram, tas ir 1.

Viendabīgiem pirmās kārtas diferenciālvienādojumi

Tagad uz sarežģītākiem daļām. Homogēnās pirmie rīkojums diferenciālvienādojumi var būt rakstīts vispārējā veidā kā: y '= z (x, y). Jāatzīmē, ka tiesības funkcija diviem mainīgajiem ir vienmērīgs, un tas nevar tikt sadalīta divās daļās atkarībā no: z x un z y. Pārbaudiet, vai vienādojums ir viendabīga, vai ne, ir ļoti vienkārša: mēs aizstāšanas x = k * x un y = k * y. Tagad mēs samazinām visu k. Ja šie burti ir samazinājies, tad vienādojumu viendabīga un var droši doties uz tās risinājumu. Raugoties nākotnē, mēs sakām: no šķīduma uz šiem piemēriem princips ir ļoti vienkāršs.

Mums ir nepieciešams, lai padarītu aizvietošanu: y = t (x) * x, kur t - funkcija, kas arī ir atkarīgs no x. Tad mēs varam izteikt atvasinājums: y '= t' (x) * x + t. Ievietojot tas viss mūsu sākotnējo vienādojumu un vienkāršot to, mums ir piemērs nodalīšanas mainīgo t kā x. Atrisināt to un iegūt atkarību no t (x). Kad mēs saņēmām to, vienkārši aizstāt mūsu iepriekšējo aizstāšanas y = t (x) * x. Tad mēs iegūt atkarību y pret x.

Lai padarītu to skaidrāku, mēs saprotam piemēru: x * y '= yx * e y / x.

Pārbaudot nomaiņu visu samazinās. Tātad, vienādojums ir patiešām viendabīga. Tagad veikt citu maiņu, mēs runājām par: y = t (x) * x un y '= t' (x) * x + t (x). Pēc tam, kad vienkāršošanu šādu vienādojumu: t "(x) * x = -e t. Mēs nolemjat, lai iegūtu paraugu ar atdalītiem mainīgajiem, un mēs ^{iegūstam: e-t = ln (C *} x). Mums ir nepieciešams, lai aizstātu t ar y / x (jo, ja y = t * x, tad t = y / x), un mēs iegūstam ^{atbildi: e-y / x = ln (} x * C).

Lineārais diferenciālvienādojuma pirmās kārtas

Ir pienācis laiks apsvērt citu plašu tēmu. Mēs apskatīsim neviendabīgas pirmās kārtas diferenciālvienādojumus. Kā tie atšķiras no iepriekšējiem diviem? Pieņemsim, sejas tā. Linear pirmās kārtas diferenciālvienādojumi, kas vispārējā veidā vienādojuma var rakstīts šādi: y '+ g (x) * y = z (x). Jāprecizē, ka z (x) un g (x), var būt vērtībā.

Šeit ir piemērs: y '- y * x = x ^2.

Ir divi veidi, kā atrisināt, un mēs pasūtīt Ļaujiet mums pārbaudīt abus. Pirmais - metode variācijas patvaļīgi konstantes.

Lai atrisinātu vienādojumu šādā veidā, ir nepieciešams vienādot pirmo labo pusi līdz nullei, un atrisināt radušos vienādojumu, kas pēc tam, kad pārsūtīšana daļu kļūst:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Tagad tas ir nepieciešams, lai aizstātu konstante C ₁ uz funkcijas v (x), kas mums būs atrast.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Uzzīmējiet rezerves atvasinājumu:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Un aizstājot šos izteicienus uz sākotnējo vienādojumu:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Jūs varat redzēt, ka kreisajā pusē divu terminu tiek samazināts. Ja kāds piemērs, kas nenotika, tad jums ir darījuši kaut ko nepareizi. Mēs turpinām:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Tagad mēs atrisināt parasto vienādojumu, kurā vēlaties, lai atdalītu mainīgos:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Lai noņemtu neatņemama, mums ir jāpiemēro integrāciju ar detaļām šeit. Tomēr tas nav temats šajā rakstā. Ja jūs interesē, jūs varat uzzināt par to pašu, lai veiktu šādas darbības. Tas nav grūti, un ar pietiekami prasmīgi un aprūpe nav laikietilpīga.

Atsaucoties uz otro metodi risinājuma inhomogeneous vienādojumu: Bernoulli metodi. Kas pieeja ir ātrāk un vienkāršāk - tas ir atkarīgs no jums.

Tātad, risinot šo metodi, mums ir nepieciešams, lai veiktu maiņu: y = k * n. Lūk, k un n - dažas funkcijas atkarībā no x. Tad atvasinājums izskatās: y '= k' * n + k * n '. Aizvietotāji divi aizvietotas vienādojumu:

k '* n + k * n "+ x * k * n = x ^2.

Grupas up:

k '* n + k * ( n "+ x * n) = x ^2.

Tagad tas ir nepieciešams, lai to pielīdzinātu nullei, kas ir iekavās. Tagad, ja jūs apvienot divas rodas vienādojumus, iegūstam sistēma pirmās kārtas diferenciālvienādojumu, kas jāatrisina:

n "+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Pirmais vienlīdzība izlemt, cik parasto vienādojumu. Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams, lai atdalītu mainīgos:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Mēs ņemam neatņemama un iegūstam: ln (n) = x ^2/2. Tad, ja mēs izteikt n:

n = e ^{x2 / 2.}

Tagad aizstāt iegūto vienādojumu otrās vienādojumu:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Un pārveidojot, iegūstam to pašu vienādojumu kā pirmā metode:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Mēs arī nebūs apspriest turpmāko rīcību. Ir teikts, ka pirmās pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risinājums rada ievērojamas grūtības. Tomēr dziļāk iegremdēšana tēmu sāk iegūt labāku un labāku.

Kur ir diferenciālvienādojumi?

Ļoti aktīvi diferenciālvienādojumi izmanto fizikas, jo gandrīz visas pamata likumi tiek rakstīti diferenciālā formā, un tie formulas, ko mēs redzam - risinājumu šiem vienādojumiem. Ķīmijā tie tiek izmantoti paša iemesla dēļ: pamatlikumi ir iegūti caur tiem. Ar bioloģiju, diferenciālvienādojumi tiek izmantoti, lai modelētu uzvedību sistēmas, piemēram, plēsoņa - upuris. Tos var arī izmantot, lai izveidotu modeļus reprodukcijas, piemēram, kolonijas mikroorganismiem.

Kā diferenciālvienādojumi palīdzēt dzīvē?

Atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša: nekas. Ja jūs neesat zinātnieks vai inženieris, tas ir maz ticams, ka tie būs noderīgi. Tomēr ne ievainot zināt, kas diferenciālo vienādojumu, un tā ir atrisināta vispārējai attīstībai. Un tad jautājums par dēlu vai meitu, "kāda diferenciālvienādojumu?" nelieciet jums strupceļā. Nu, ja jūs esat zinātnieks vai inženieris, tad jūs zināt, cik svarīgi ir šo tēmu jebkurā zinātnē. Bet pats galvenais, ka tagad uz jautājumu "kā atrisināt diferenciālo vienādojumu pirmās kārtas?" Jums vienmēr būs iespēja sniegt atbildi. Piekrītu, tas vienmēr ir jauki, kad tu saproti, ka tas, ko cilvēki ir pat bail, lai uzzinātu.

Galvenās problēmas pētījumā

Galvenā problēma ir izpratne par šo tēmu, ir slikts ieradums integrācijas un diferenciācijas funkcijas. Ja Jums ir neērti UZÒEMATIES atvasinājumi un integrāļi, tas ir vairāk vērts mācīties, apgūt dažādas metodes integrācijas un diferenciācijas, un tikai tad doties uz pētījumu materiāla, kas ir aprakstīts rakstā.

Daži cilvēki ir pārsteigti, uzzinot, ka dx var nodot, kā iepriekš (skolā), apgalvoja, ka daļa dy / dx ir nedalāma. Tad jums ir nepieciešams, lai izlasītu literatūru par atvasinājumiem un saprast, ka tā ir attieksme bezgala nelielos daudzumos, kas var manipulēt atrisināt vienādojumus.

Daudzi cilvēki nav uzreiz saprast, ka risinājums diferenciālvienādojumu pirmās kārtas - tas bieži vien ir funkcija vai neberuschiysya neatņemama, un tas maldi dod viņiem daudz nepatikšanas.

Ko vēl var pētīt, lai labāk saprastu?

Tas ir labākais, lai sāktu tālāku iegrimt pasaulē diferenciālo calculus specializēto mācību grāmatas, piemēram, matemātiskā analīze, studentiem nav matemātisko specialitātēs. Pēc tam jūs varat pāriet uz daudz specializēto literatūru.

Ir teikts, ka papildus diferenciāli, joprojām neatņemama vienādojumi, lai jūs vienmēr ir kaut kā tiekties un ko mācīties.

secinājums

Mēs ceram, ka pēc iepazīšanās ar šo rakstu, jums ir ideja par to, ko diferenciālvienādojumi un to, kā tās risināt pareizi.

Jebkurā gadījumā, matemātika jebkādā veidā noderīga mums dzīvē. Tas attīsta loģiku un uzmanību, bez kuras katrs cilvēks, kā bez rokām.