Atšķirības - kas tas ir? Kā atrast atšķirību no funkcijas?

Kopā ar atvasinājumiem to funkcijas diferenciāļi - tā dažus pamatjēdzienus par diferenciālo calculus, galvenajā sadaļā matemātisko analīzi. Kā nesaraujami saistīti, abi no tiem vairākus gadsimtus plaši izmanto atrisināt gandrīz visas problēmas, kas radušās, veicot zinātnisko un tehnisko darbību.

Rašanās jēdziena diferenciāli

Pirmo reizi skaidri norādīja, ka šāda starpība, viens no dibinātājiem (kopā ar Isaakom Nyutonom) diferenciālrēķini slavenais vācu matemātiķis Gotfrid Vilgelm Leybnits. Pirms tam mathematicians 17.gadsimtā. lieto ļoti neskaidra un nenoteikta ideja par kādu bezgalīgi "nesadalītu" ikvienas zināmas funkcijas, kas pārstāv ļoti mazu nemainīgu vērtību, bet nav vienāda ar nulli, zem kuras augstu vērtē funkcija nevar būt vienkārši. Tātad tas bija tikai viens solis ieviešanu priekšstatiem par bezgalīgi soli funkciju argumentiem un to attiecīgo soli no funkcijām, kuras var izteikti atvasinājumu tā. Un šis lēmums tika pieņemts gandrīz vienlaicīgi iepriekš divas lielas zinātniekiem.

Pamatojoties uz nepieciešamību risināt steidzamas praktiskas mehānikas problēmas, kas konfrontē zinātne strauji attīstās rūpniecība un tehnoloģijas, Newton un Leibniz izveidoja kopīgus veidus atrast funkcijas pārmaiņu temps (jo īpaši attiecībā uz mehānisko ātrumu ķermeņa zināms trajektorijas), kas noveda pie ieviešanai tādiem jēdzieniem, kā atvasināto funkciju un diferenciāli, kā arī konstatēja, ka algoritms apgriezto problēmu risinājumi, kā zināms per se (mainīgā) ātrumiem pārvieto, lai atrastu ceļu, kas ir novedusi pie jēdziena neatņemamu Ala.

Darbos Leibnica and Ņūtona ideja vispirms tas izrādījās ka atšķirīga - ir proporcionāla pieauguma pamata argumentiem SH soli Δu funkcijas, kas var veiksmīgi izmantot, lai aprēķinātu vērtību pēdējo. Citiem vārdiem sakot, tie ir atklāts, ka pieaugums funkcija var būt jebkurā brīdī (savā domēnā ar definīciju) tiek izteikts caur tās atvasinājuma gan Δu = Y '(x) SH + αΔh kur α SH - atlikuma, kas tuvojas nullei kā SH → 0, daudz ātrāk nekā faktiskais SH.

Saskaņā ar dibinātājiem matemātiskās analīzes, diferenciāļi - tas ir tieši pirmais termins soli jebkuras funkcijas. Pat bez a skaidri definēti limits concept sekvences ir jāsaprot intuitīvi, ka atšķirīgie vērtība atvasinājuma tendence darboties, kad SH → 0 - Δu / SH → y '(x).

Atšķirībā no Newton, kurš bija galvenokārt fiziķis un matemātisko aparātu uzskatīta par papildu instrumentu pētījuma fiziskām problēmām, Leibnica pievērsta lielāka uzmanība šim instrumentu kopumu, tostarp sistēmas vizuālu un saprotamu simbolu matemātiskās vērtības. Tas bija viņš, kurš ierosināja standarta piezīmes par atšķirībām funkciju dy = y '(x) dx, dx, un atvasinājums argumentu funkciju, jo viņu attiecības y' (x) = dy / dx.

Mūsdienu definīcija

Kāda ir starpība ziņā mūsdienu matemātikas? Tas ir cieši saistīts ar jēdzienu mainīgu pieaugumu. Ja mainīgais y notiek pirmo vērtību y y = _1, tad y = y _2, atšķirība y ₂ ─ y ₁ tiek saukts par pieaugums vērtību y. Palielinājums var būt pozitīva. negatīvi un nulle. Vārds "pieaugums" ir apzīmēta Δ, Δu ierakstīšanas (lasīt "delta y") apzīmē vērtību pieauguma y. tā Δu = y ₂ ─ y _1.

Ja vērtība Δu patvaļīgs funkcija y = f (x), var tikt attēlots kā Δu = A SH + alfa, kur A ir ne atkarība no SH, t. E. A = const dotajam x, un termins α kad SH → 0 tendence tas ir pat ātrāk nekā faktiskais SH, tad pirmais ( "master") ir termins proporcionāls SH, un ir y = f (x) diferenciāli, apzīmē dy vai df (x) (lasīt "y de", "de eff no X"). Tāpēc diferenciāļi - par "galveno" lineārs attiecībā uz sastāvdaļām porcijām SH funkcijas.

mehāniskā skaidrojums

Let s = f (t) - attālumu taisnā līnijā kustīgu materiāla punktu no sākotnējās pozīcijas (t - ceļojuma laikā). Pieaugums Δs - ir veids punkts laika intervālā Δt laikā, un diferenciālās ds = f (t), Δt - tas ceļš, kas norāda notiks tajā pašā laikā Δt, ja tas saglabāja ātruma f "(t), sasniedza laikā t . Kad bezgalīgi Δt ds iedomātu ceļš atšķiras no faktiskās Δs infinitesimally ar augstāku rīkojumu attiecībā uz Δt. Ja ātrums tajā laikā t nav vienāds ar nulli, tad aptuvenā vērtība ds dod nelielu slīpo punktu.

ģeometriskā interpretācija

Let līnija L ir graph of y = f (x). Tad Δ x = MQ, Δu = QM "(skat. Attēlu zemāk). Tangenss MN pārtraukumiem Δu sagriež divās daļās Qn un NM ". Pirmais un SH ir proporcionāls QN = MQ ∙ TG (leņķis QMN) = SH f '(x), t. E QN ir dy skaitu.

Otrā daļa no starpības Δu NM'daet ─ dy, kad SH → 0 NM garums 'samazina pat ātrāk nekā pieauguma argumentu, ti, tā ir kārtību mazā augstāka nekā SH. Šajā gadījumā, ja f '(x) ≠ 0 (non-paralēlas pieskares OX) segmentiem QM'i QN ekvivalentiem; citiem vārdiem sakot, NM "strauji samazinās (rīkojums mazā no tā vairāk) nekā kopējā pieauguma Δu = QM". Tas ir redzams attēlā (tuvojas segments M'k M NM'sostavlyaet visu mazāks procents QM 'segmentu).

Tātad, grafiski diferenciālis patvaļīgi funkcija ir vienāda ar pieaugumu par ordinātu par pieskari.

Atvasinājums un diferenciālis

Faktors, pirmajā termiņa izteiksme pieauguma funkcija ir vienāds ar vērtību no tās atvasinājumu f "(X). Tādējādi, sekojošu sakarību - dy = f '(x) SH vai df (x) = f' (x) SH.

Ir zināms, ka pieaugums neatkarīgās arguments ir vienāds ar tās diferenciālā SH = dx. Tāpēc, mēs varam rakstīt: f '(x) dx = dy.

Meklējot (dažreiz varētu būt arī "lēmums"), diferenciāļi veic tie paši noteikumi kā uz atvasinājumu. To sarakstu ir norādīts zemāk.

Kas ir vairāk universāla: Palielinājums par argumentu vai tā diferenciāli

Te ir nepieciešams veikt dažus precizējumus. Pārstāvība vērtība f '(x) starpība SH iespējams apsverot x kā argumentu. Bet funkcija var būt sarežģīta, kurā x var būt funkcija argumentu t. Tad attēlojums diferenciālā izpausmes f '(x) SH, kā likums, tas ir iespējams; izņemot, ja lineārās atkarības x = pie + b.

Attiecībā uz formulu f '(x) dx = dy, tad, ja neatkarīgā arguments x (tad dx = SH) gadījumā parametra atkarības x t, tas ir atšķirīga.

Piemēram, izteiksme 2 x SH ir y = x ² tā diferenciālā ja x ir arguments. Mēs tagad x = t ² un uzņemties t argumentu. Tad y = x ² = t ^4.

Tam seko (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Līdz ar to SH = 2tΔt + Δt ^2. Līdz ar to: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Šī izteiksme nav proporcionāla Δt, un tāpēc tagad 2xΔh nav diferenciālis. To var atrast no vienādojuma y = x ² = t ^4. Tas ir vienāds dy = 4t ³ Δt.

Ja mēs ņemtu ekspresijas 2xdx, tas ir diferenciāļa y = x ² jebkuram arguments t. Tiešām, kad x = t ² iegūt dx = 2tΔt.

Tātad 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. ekspresijas starpības, kas ierakstīti ar diviem dažādiem mainīgajiem sakrīt.

Aizstāt soli atšķirības

Ja f '(x) ≠ 0, tad Δu un dy ekvivalents (kad SH → 0); ja f '(x) = 0 (nozīmē un dy = 0), tie nav līdzvērtīgi.

Piemēram, ja y = x ^2, tad Δu = (x + SH) ² ─ x ² = 2xΔh + SH ² un dy = 2xΔh. Ja x = 3, tad mums ir Δu = 6Δh + SH ² un dy = 6Δh, kas ir līdzvērtīgi, jo SH ² → 0, kad x = 0 vērtība Δu = SH ² un dy = 0, nav līdzvērtīgi.

Šis fakts kopā ar vienkāršu struktūru starpības (m. E. linearitāte attiecībā uz SH), bieži izmanto aptuvenu aprēķinu, pieņemot, ka Δu ≈ dy maziem SH. Atrast starpība funkcija parasti ir vieglāk, nekā, lai aprēķinātu precīzu vērtību pieaugumu.

Piemēram, mums ir metāla kubu ar malu x = 10,00 cm. Uz apkure malas pagarināti uz SH = 0,001 cm. Kā pieauga apjoma kuba V? Mums ir V = x ^{2, tā,} ka DV = 3x ² = SH 3 ∙ ∙ februārī ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Palielināts Pakāpiena pati atšķirīga dv, lai Pakāpiena = 3 cm ^3. Pilna aprēķins dotu ³ Pakāpiena = 10,01 ─ ¹⁰ March = 3.003001. Bet tāpēc, ka visi cipari, izņemot pirmo neuzticama; Tāpēc, tas joprojām ir nepieciešams noapaļot līdz 3 cm ^3.

Protams, šī pieeja ir noderīga tikai tad, ja tas ir iespējams aprēķināt vērtību izlietot ar kļūdu.

Differential funkcija: piemēri

Mēģināsim atrast atšķirību no funkcijas y = x ^3, atrast atvasinājumu. Dosim arguments pieauguma Δu un definēt.

Δu = (SH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + SH (SH 3xΔh ² + ^3).

Lūk, tad koeficients A = 3x ² nav atkarīga no SH, tā, ka pirmais termiņš ir proporcionāla SH, otrs dalībnieks 3xΔh SH ² + ³ ja SH → 0 samazinās straujāk nekā pieauguma argumentu. Līdz ar to, loceklis 3x ² SH ir starpība y = x ^3:

dy = 3x ² SH = 3x ² dx vai d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Kur d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Mēs tagad atrast funkciju y = 1 / x ar atvasinājuma. Tad d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Tāpēc dy = ─ SH / x ^2.

Diferenciāļi pamata algebrisko funkcijas ir doti turpmāk.

Aptuvenās aprēķini, izmantojot diferenciālis

Lai novērtētu funkciju f (x), un tā atvasinājums f '(x) pie x = a bieži ir grūti, bet darīt to pašu tuvumā x = a nav viegli. Tad palīgā aptuveno izteiksmes

f (a + SH) ≈ f '(a) SH + f (a).

Tas dod aptuvenu vērtību funkcija pie mazo soli pa savu diferenciālā SH f "(a) SH.

Tādēļ, šī formula dod aptuvenu funkcijas izteiksmi beigās punkta daļu, kuru garums SH kā summu par tās vērtību sākumpunktu porcijas (x = a) un diferenciāli tajā pašā sākumpunktu. zem precizitāte metodi, lai noteiktu vērtības funkciju ilustrē zīmējumu.

Tomēr zināms un precīzu izteiksme vērtības funkcija x = a + SH, ko formula ierobežotos soli (vai, alternatīvi, Lagrange 's formula)

f (a + SH) ≈ f '(ξ) SH + f (a),

kur punkts x = a + ξ ir intervālā no x = a līdz x = a + SH, gan tās precīza atrašanās vieta nav zināma. Precīzs formula ļauj novērtēt kļūdu aptuveno formulu. Ja mēs likts uz Lagranža formulu ξ = SH / 2, lai gan tas pārstāj būt precīzi, bet dod, kā likums, ir daudz labāka pieeja nekā sākotnējā izteiksmes ziņā diferenciāli.

Vērtēšanas formulas kļūdu, piemērojot diferencētu

Mērinstrumenti , principā, neprecīzi, un lai uz mērījumu datiem, kas atbilst kļūdu. Tos raksturo ierobežojot absolūtā kļūda, vai, sakot, limits kļūda - pozitīvi, nepārprotami pārsniedz kļūdu absolūto vērtību (vai vismaz vienāds ar to). Ierobežošana relatīvo kļūdu sauc koeficients, ko iegūst, dalot to ar absolūto vērtību mērījumu vērtības.

Ļaujiet precīza formula y = f (x) funkciju, ko izmanto, lai vychislyaeniya y, bet vērtība x ir mērījuma rezultāts, un tādējādi rada y kļūda. Pēc tam, lai atrastu ierobežojošo absolūts kļūdas │Δu│funktsii y, izmantojot formulu

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kur │Δh│yavlyaetsya maznozīmīga kļūda arguments. │Δu│ daudzums ir noapaļota uz augšu, kā neprecīzs aprēķins pati aizstāšana ar pieaugumu par atšķirīgu aprēķinu.