Sistēma lineāro algebrisko vienādojumu. Homogēns sistēma lineāras algebrisko vienādojumu

Skolā, katram no mums mācījās vienādojumu un, protams, sistēmu vienādojumu. Bet ne daudzi cilvēki zina, ka ir vairāki veidi, kā tās risināt. Šodien mēs redzēsim tieši visas metodes, lai atrisinātu sistēmas lineāro algebrisko vienādojumu, kas sastāv no vairāk nekā diviem vienādojumiem.

stāsts

Šodien mēs zinām, ka māksla atrisināt vienādojumu un to sistēmu radās Senajā Babilonijā un Ēģiptē. Tomēr vienlīdzība savā ierastajā veidā parādījās pie mums pēc iestāšanās vienādības zīmi "=", kas tika ieviests 1556 Anglijas matemātiķa ierakstu. Starp citu, šis simbols tika izvēlēts iemesla dēļ: tas nozīmē, ka divas paralēlas vienādas segmentus. Patiešām, labākais piemērs vienlīdzības nenāk.

Mūsdienu burtiem dibinātājs un simboli nezināmas mērā franču matemātiķis Fransua Viet. Tomēr tā apzīmējums ir ievērojami atšķirīgs no šodienas. Piemēram, kvadrāts nezināmu skaitu viņš apzīmē ar burtu Q (lat "quadratus".), Un kuba - (. Lat "Cubus") vēstule C. Šie simboli tagad šķiet neērti, bet tad tas bija visvairāk intuitīvākas veids uzrakstīt sistēmu, lineāru algebrisku vienādojumu.

Tomēr trūkums dominējošajos metodēm risinājums bija, ka matemātiķi ir uzskatāma tikai pozitīvas saknes. Varbūt tas ir saistīts ar faktu, ka negatīvās vērtības nav nekādu praktisku piemērošanu. Vienā vai otrā veidā, bet pirmais, uzskatāms negatīvas saknes sākās pēc tam, kad Itālijas matemātikas Nikolo Tartaglia, džerolāmo kardāno un Raphael Bombelli kas 16.gadsimtā. Moderns izskats, galvenais risināšanas metode kvadrātvienādojums vienādojumi (ar Diskriminantu) tika izveidots tikai 17.gs. caur darbiem Dekarta un Newton.

In vidū 18.gadsimta Šveices matemātiķis Gabriel Cramer atraduši jaunu veidu, kā padarīt to risinājumu sistēmas lineāro vienādojumu vieglāk. Šī metode vēlāk tika nosaukts pēc viņa, un līdz šai dienai mēs to izmantojam. Bet metodi Krāmera talk mazliet vēlāk, bet tagad mēs apspriedīsim lineārus vienādojumus un to risinājumiem atsevišķi no sistēmas.

lineāras vienādojumu

Lineārie vienādojumi - vienkāršākais vienādojumu ar mainīgo (-iem). Viņi pieder algebriskā. Linear vienādojumu rakstīts vispārējā veidā, kā tas ir: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... un _n * x _n = b. Iesniegšana šādā veidā mums būs nepieciešams sistēmu sagatavošanu un matricas tālāk.

Sistēma lineāro algebrisko vienādojumu

Šī termina definīcija ir: kopa vienādojumu, kas ir kopīgas nezināmo un vispārējo risinājumu. Raksturīgi, ka skolā vispār atrisināt sistēma ar divām vai pat trim vienādojumiem. Bet ir sistēmas ar četriem vai vairākiem komponentiem. Let 's redzēt, pirmkārt, kā rakstīt tos uz leju, lai vēlāk tas bija ērti atrisināt. Pirmkārt, sistēma lineāro algebrisko vienādojumu izskatīsies labāk, ja visi mainīgie tiek rakstīts kā x ar atbilstošo indeksu: 1,2,3 un tā tālāk. Otrkārt, tas ir vadīt visus vienādojumus uz kanonisko formu a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... un _n * x _n = b.

Pēc visiem šiem soļiem, mēs varam sākt, lai pastāstītu, kā atrast risinājumu sistēmas lineāro vienādojumu. Ļoti daudz kas noderēs matricā.

matrica

Matrix - tabula, kas sastāv no rindām un kolonnām, un tās elementi ir to krustojumā. Tas var būt vai nu īpašu vērtību vai mainīgo. Vairumā gadījumu, lai apzīmētu elementi, kas ir izkārtoti zem Indeksi (piemēram, tas ₁₁ vai ₂₃ arī). Pirmais indekss norāda uz rindas numuru, un otrs - kolonnu. Virs matricas, kā iepriekš, un jebkādu citu matemātisko elementu var veikt dažādas darbības. Tādējādi, jūs varat:

1) atņemšana un pievienojiet to pašu lielumu tabulā.

2) Sareiziniet matricu ar jebkuru skaitli vai vektora.

3) Transponēt: pārveidot matricas līnijas kolonnām, bet kolonnas - rindā.

4) Reizināt matrica, ja rindu skaits ir vienāds ar vienu no tiem atšķirīgs kolonnu skaitu.

Lai apspriestu sīkāk visus šos paņēmienus, jo tie ir noderīgi, lai mums nākotnē. Atņemšana un papildus matricas ir ļoti vienkārši. Kopš mēs tāda paša izmēra matricu, katrs vienā tabulā elements ir saistīts ar jebkuru citu elementu. Tādējādi mēs pievienot (atņemt) divi no šiem elementiem (tas ir svarīgi, ka viņi stāv uz vienas zemes, to matricās). Kad reizināts ar skaitu matricas vai vektora jūs vienkārši reizināt katru matricas elements ar šo numuru (vai vektoru). Transponēšana - ļoti interesants process. Ļoti interesanti reizēm redzēt viņu reālajā dzīvē, piemēram, mainot orientāciju planšetdatoru vai tālruni. Ikonas uz darbvirsmas ir matrica, un ar nostājas maiņu, tā tiek transponēti un kļūst platāka, bet samazinās augstumā.

Ļaujiet mums pārbaudīt lielāku procesu, piemēram, matricu reizināšanas. Lai gan viņš mums teica, un tas nav noderīgs, bet jāapzinās tas joprojām ir noderīgs. Reizināt divas matricas var būt tikai ar nosacījumu, ka kolonnu skaitu vienā tabulā ir vienāds ar rindu skaitu citu. Tagad veikt vienu matricas rindu elementus un citus elementus, kas atbilstošajā ailē. Pavairot tos ar otru, un pēc tam summu (t.i., piemēram, produktu elementu ₁₁ un ₁₂ un pēc ₁₂ B un ₂₂ B ir vienāds ar: a * b _{11 12} + ₁₂ * b un _22). Tādējādi viena galda vienība, un metode līdzīga tai ir piepildīta tālāk.

Tagad mēs varam sākt apsvērt, kā risināt sistēmas lineāru vienādojumu.

Gauss

Šī tēma sāka notikt skolā. Mēs ļoti labi zinām, ka jēdziens "sistēma divu lineāru vienādojumu", un zina, kā tās atrisināt. Bet ko tad, ja skaits vienādojumu ir lielāks par diviem? Tas palīdzēs mums Gausa metodi.

Protams, šī metode ir ērti lietot, ja jūs veicat matricas sistēmas. Bet jūs nevarat pārveidot to un pieņemt lēmumu par to.

Tātad, kā atrisināt to ar lineāru vienādojumu sistēma Gauss? Starp citu, lai gan šo metodi, un nosaukts pēc viņa, bet atklāja to senos laikos. Gauss ir darbība, ko veic ar vienādojumu, kas galu galā rezultātā kopumā līdz ešelons formā. Tas ir, jums ir nepieciešams, lai no augšas uz leju (ja pareizi vieta), no pirmās līdz pēdējai vienādojuma vājinājusies viens nezināms. Citiem vārdiem sakot, mums ir nepieciešams, lai pārliecinātos, ka mēs esam ieguvuši, teiksim, trīs vienādojumi: pirmais - trīs nezināmo, otrajā - divas trešajā - vienu. Tad no pēdējā vienādojuma, mēs atrodam pirmo nezināmo, aizstāt savu vērtību otrā vai pirmā vienādojuma, un vēl atrast atlikušos divus mainīgos.

Krāmera formulas

Lai attīstītu šo metodi, ir svarīgi apgūt prasmes Turklāt atņemot matrices, kā arī nepieciešamību spēt atrast noteicošos faktorus. Tāpēc, ja jums ir neērti darīt visu, vai nezinu, cik tas ir nepieciešams mācīties un jāapmāca.

Kāda ir būtība šo metodi, un to, kā to darīt, lai iegūtu lineāru vienādojumu sistēma Cramer? Tas ir ļoti vienkārši. Mums ir nepieciešams, lai izveidotu matricu numuru (gandrīz vienmēr) koeficientus sistēmas lineāro algebrisko vienādojumu. Lai to izdarītu, vienkārši ņemt skaits nav zināms, un mēs organizē galdiņu secībā, kādā tās tiek reģistrēta sistēmā. Ja pirms numurs ir zīme "-", tad mēs rakstām negatīvu koeficientu. Tātad, mēs veicām pirmo matricu koeficientu par nezināmo, neskaitot numuru pēc vienādības zīmes (protams, ka vienādojums ir jāsamazina uz kanonisko formu, kad tiesības ir tikai skaitlis, un pa kreisi - visi nezināmie ar koeficientiem). Tad jums ir nepieciešams veikt dažas matricas - viens katram mainīgajam. Šim nolūkam pirmajā matricā aizstāj vienā kolonnā katra kolonna numurus ar koeficientu pēc vienādības zīmi. Tādējādi mēs iegūstam dažas matricas un tad atrast to faktoriem.

Pēc tam, kad mēs atradām to apzīmējumiem, tas ir mazs. Mums ir sākotnējā matrica, un ir vairāki atvasināti matricas, kas atbilst dažādiem mainīgajiem. Lai iegūtu sistēmu risinājumu, mēs sadalīt noteicošais iegūto tabulas primāro noteicēju tabulā. Iegūtais skaitlis ir vērtība viena mainīgā. Tāpat mēs atrast visu nezināmo.

citas metodes

Ir vairākas metodes, lai iegūtu risinājumu sistēmas lineāro vienādojumu. Piemēram, tā sauktā Gausa-Jordan metode, kas tiek izmantota, lai atrastu risinājumus sistēmas kvadrātvienādojums vienādojumu, kā arī attiecas uz izmantošanu matrices. Ir arī Jacobi metode risināšanas sistēmu, lineāru algebrisku vienādojumu. Viņš viegli pielāgojas visiem datoriem, un to izmanto, lai aprēķinātu.

sarežģīti gadījumi

Sarežģītība parasti rodas, ja skaits vienādojumu ir mazāks par vairākiem mainīgajiem. Tad mēs varam noteikti teikt, ka, vai sistēma ir pretrunā (ti, nav saknes), jeb to, cik tās lēmumu tiecas uz bezgalību. Ja mums ir otrais gadījums - tas ir nepieciešams, lai rakstītu vispārējo risinājumu sistēmas lineāru vienādojumu. Tas ietver vismaz vienu mainīgo.

secinājums

Šeit mēs nonākam pie beigām. Apkopojot: mums ir jāsaprot, kāda sistēma matrica, iemācījies rast vispārēju risinājumu sistēmas lineāru vienādojumu. Turklāt mēs apsvērusi citas iespējas. Mēs sapratu, kā atrisināt sistēmas lineāru vienādojumu: Gausa novēršanai un Krāmera formulas. Mēs runājām par sarežģītiem gadījumiem un citiem veidiem, kā atrast risinājumus.

Faktiski, šis jautājums ir daudz plašāks, un, ja jūs vēlaties, lai labāk saprastu, mēs iesakām jums izlasīt vairāk par specializēto literatūru.