Maclaurin un sadalīšanās dažu funkciju

Studēšana uzlabotas matemātikas jāapzinās, ka no varas sērijas intervālā konverģenci vairākiem no mums summa, ir nepārtraukts un neierobežotu reižu skaitu diferencēti funkciju. Rodas jautājums: vai ir iespējams apgalvot, ka, ņemot vērā patvaļīgu funkciju f (x) - ir summa jaudu sērija? Tas ir, ar kādiem nosacījumiem f-cijas f (x) var pārstāvēt barošanas sēriju? Tāpēc ir svarīgi šo jautājumu ir, ka tas ir iespējams nomainīt apmēram £ Teoloģijas f (x) ir summa pirmajās pāris nosacījumiem jaudu sērija, kas ir polinoms. Šāda aizstāšana funkcija ir pavisam vienkārša izteiksme - polinomu - ir ērts un risinot konkrētas problēmas matemātiskās analīzes, proti, risinot integrāļus aprēķinot diferenciālvienādojumu , utt ...

Ir pierādīts, ka par kādu f-ii f (x), kas atšķiras ar to atvasinājumi ar (n + 1) -th lai var aprēķināt, ieskaitot jaunāko tuvumā (alfa - R; x ₀ + R) no punktveida x = alfa patiesā formula ir:

Šī formula ir nosaukts pēc slavenā zinātnieka Brooke Taylor. A skaits, kas ir atvasināts no iepriekšējā, tiek saukta par Maclaurin virkni:

Noteikums, kas ļauj ražot paplašināšanos a Maclaurin sērijas:

1. Noteikt atvasinājumi pirmajā, otrajā, trešajā, ... secībā.
2. Aprēķina, kādas ir atvasinājumi pie x = 0.
3. Record Maclaurin sērija par šo funkciju, un pēc tam, lai noteiktu intervālu konverģenci.
4. Noteikt intervālu (-R; R), kur atlikušo daļu formulu Maclaurin

R _n (x) -> 0 par n -> infinity. Ja tāda ir, tad funkcija f (x) ir jābūt vienādam ar summu no Maclaurin sērijā.

Aplūkosim tagad ir Maclaurin sēriju par atsevišķu funkciju.

1. Tādējādi, pirmais, kas f (x) = e ^x. Protams, ka to īpašības tā f-Ia ir atvasināts dažādas pasūtījumu, un F ^{(k) (x)} = E ^X, kur k ir vienāda visiem dabas numuriem. Aizvietotājs x = 0. Mēs iegūstam f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Pamatojoties uz iepriekš minēto, vairāki E ^X Tas būs šādi:

2. Maclaurin sērija par funkcijas f (x) = sin x. Nekavējoties noteiks, ka F-miem attiecībā uz visiem nezināmu atvasinājumiem būs, turklāt f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{F' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ^2), ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kur k ir vienāds ar jebkuru pozitīvs vesels skaitlis. Tas ir, veicot vienkāršus aprēķinus, mēs varam secināt, ka sērijas f (x) = sin x būs šādi:

3. Tagad pieņemsim apsvērt iju f-f (x) = cos x. Ir zināms, attiecībā uz visiem atvasinājumiem patvaļīgā secībā, un ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Atkal, tas kas izdarījusi dažus aprēķinus, mēs atklājam, ka sērijas f (x) = cos x izskatīsies šādi:

Tātad, mēs esam uzskaitījuši svarīgākos funkcijas, kas var paplašināt ar Maclaurin sērijā, bet tie papildina Taylor sērija dažiem funkcijas. Tagad mēs uzskaitīt tos kā labi. Būtu arī jāatzīmē, ka Teilors sērija un Maclaurin sērija ir svarīga daļa no darbnīcu sērijas lēmumus augstākās matemātikas. Tātad, Taylor sērija.

1. Pirmais ir virkne f-ii f (x) = ln (1 + x). Tāpat kā iepriekšējos piemēros, par to mēs f (x) = ln (1 + x) var tikt salocīts numuru, izmantojot vispārējo formu Maclaurin sēriju. bet par šo funkciju Maclaurin var iegūt daudz vieglāk. Integrējot ģeometrisku sēriju, mēs iegūstam numuru f (x) = ln (1 + x) no parauga:

2. Un otrs, kas būs gala šajā rakstā būs sērijas f (x) = arctg x. X pieder intervālam [-1; 1], ir spēkā sadalīšanās:

Tas ir viss. Šajā rakstā es apsekots visvairāk lieto Taylor sērija un Maclaurin sēriju augstākās matemātikas, jo īpaši ekonomikas un tehniskās koledžās.